Разложение Холецкого (метод квадратных корней)

Метод исключения Гаусса

Разглядим один из часто встречающихся способов решения систем линейных алгебраических уравнений – способ Гаусса (способ поочередного исключения неведомых). Он состоит из 2-ух главных шагов: прямой ход и оборотный ход.

Простой вариант способа: схема единственного деления.

Будем считать, что элемент . Будем именовать его основным элементом первого шага.

Найдем множители первого шага . Вычтем Разложение Холецкого (метод квадратных корней) поочередно из второго, третьего, -го уравнения 1-ое умноженное на . Это позволит исключить из этих уравнений неведомое .

В итоге получим эквивалентную систему

,

где , .

На последующем шаге из всех уравнений, начиная с третьего, исключается неведомое .

После -го шага получаем систему с верхней диагональной матрицей

.

После чего перебегаем к оборотному ходу: из Разложение Холецкого (метод квадратных корней) последнего уравнения находим неведомое , подставляя его в предпоследнее уравнение, находим и т.д. до первого уравнения.

Заметим, что если один из основных частей окажется равным нулю, то деление станет неосуществимым. Но даже если главный элемент близок к нулю это приводит к неконтролируемому росту погрешности, т.к. если , то Разложение Холецкого (метод квадратных корней) .

Чтоб избежать этого, каждый цикл всегда начинают с перестановки строк. Посреди частей столбца находят главный (больший по модулю в -м столбце) и перестановкой строк приводят его на главную диагональ. Это схема с выбором головного элемента по столбцам.

Обычно, выбор головного элемента во всей матрице не очень улучшает погрешность, но приметно усложняет расчет Разложение Холецкого (метод квадратных корней).

Число арифметических операций в способе Гаусса для системы составляет .

Оценка погрешности и уточнение корня

Оценить близость какого-нибудь вектора к решению системы уравнений можно, оценив вектор невязок . При всем этом почаще рассматривается его норма.

Решение систем с несколькими правыми частями. - разложение

Разглядим, какими преобразованиями матрицы сопровождается способ Гаусса.

Введя обозначения Разложение Холецкого (метод квадратных корней) и , получим что .

Это и есть -разложение матрицы .

Аксиома 1. Если все главные миноры матрицы отличны от нуля, то есть единственные нижняя треугольная матрица и верхняя треугольная матрица такие, что .

Достаточно нередко на практике случаются ситуации, когда необходимо решить несколько систем уравнений с одной матрицей и разными правыми частями.

В данном Разложение Холецкого (метод квадратных корней) случае уместно провести преобразования, которые повторяются при каждом решении, один раз, и использовать их для разных правых частей.

− разложение дает очень огромное преимущество в решении систем уравнений. При нахождении − разложения совсем не употреблялся вектор правых частей.

Дальше получим , обозначим , тогда .

В случае использования способа Гаусса с выбором головного элемента Разложение Холецкого (метод квадратных корней), приобретенные матрицы не являются − разложением матрицы . Но прямой ход как и раньше равносилен − разложению, но не самой матрицы , а матрицы , приобретенной из соответственной перестановкой строк.

Разложение Холецкого (способ квадратных корней)

Употребляется для симметричной положительно определенной матрицы . Такие матрицы нередко встречаются в приложениях (задачки оптимизации, механика твердого Разложение Холецкого (метод квадратных корней) тела, теория упругости, уравнения математической физики).

Квадратная матрица именуется положительно определенной, если для хоть какого ненулевого вектора , производится .

Для выяснения положительной определенности матрицы можно проверить одно из критерий:

· Все определители угловых миноров матрицы положительны.

· Все собственные значения матрицы положительны.

В базе способа лежит метод построения специального − разложения матрицы , в итоге чего она Разложение Холецкого (метод квадратных корней) приводится к виду .

Записав матрицу и , перемножим их и приравняем подходящим элементам матрицы .

,

,

Решая систему, поочередно находим

,

, .

Если разложение получено, то решение сводится к поочередному решению 2-ух систем с треугольными матрицами: и .

Решение просит порядка

Этот способ обладает рядом ценных свойств, которые позволяют предпочесть его способу Гаусса Разложение Холецкого (метод квадратных корней):

· При огромных этот способ просит в два раза наименьших вычислительных издержек.

· Бесспорным достоинством способа Холецкого является его гарантированная устойчивость.


razgranichenie-kosvennogo-umisla-i-prestupnogo-legkomisliya-referat.html
razgranichenie-polnomochij-i-podvedomstvennosti.html
razgranichenie-predmetov-vedeniya-i-polnomochij-rossijskoj-federacii-i-subektov-rossijskoj-federacii.html