Различные виды уравнения прямой.

Различные виды уравнения прямой.

Ровная на плоскости.

Любая ровная на плоскости Oxy определяется линейным уравнением первой степени с 2-мя неведомыми. Назад: каждое линейное уравнение первого порядка с 2-мя неведомыми определяет некую прямую на плоскости.

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид

y=kx+b, (2.1)

Где k-угловой коэффициент прямой (т.е. тангенс угла a, который ровная Различные виды уравнения прямой. образует с положительным направлением оси Ox, k=tga), b- ордината точки скрещения прямой с осью Oy.

2. Общее уравнение прямой:

Ax+By+C=0, (2.2)

Где A,B,C-постоянные коэффициенты, при этом А и В сразу не обращаются в нуль(А2+В2¹ 0).

Заметим, что n=(A;B)- обычный вектор Различные виды уравнения прямой. прямой (n перпендикулярен прямой).Личные случаи этого уравнения:

Ax+By=0 (C=0)-прямая проходит через начало координат;

Ax+C=0 (B=0) -прямая параллельна оси Oy;

By+C=0 (A=0) - ровная параллельна оси Ox;

Ax=0 (B=C=0) -прямая совпадает с осью Oy;

By=0 (A=C=0) - ровная совпадает с осью Ox.

3. Уравнение прямой в отрезках Различные виды уравнения прямой.:

+ =1, (2.3)

где aи b длины отрезков (с учетом символов) ,отсекаемых прямой на осях Ox и Oy соответственно (рис 23).

4. Уравнение прямой проходящей через данную точку в данном направлении:

y-y0=k(x-x0), (2.4)

где k=tga (a-угол образуемый прямой с осью Ox); (x0;y0)- координаты данной точки. Уравнение (2.4) именуют также уравнением Различные виды уравнения прямой. пучка прямых с центром в точке (x0;y0);уравнение пучка прямых, проходящих через точку скрещения 2-ух прямых A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0 имеет вид:

A1x+B1y+C1+ l(A2x+B2y+C2)=0,(2.5)

Где l-числовой множитель.

5. Уравнение прямой Различные виды уравнения прямой., проходящей через две данные точки М1(x1;y1) и М2(x2;y2),где y1=/y2, x1=/x2 имеет вид = .

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки определяется по фопмуле

K = .

Если x1=x2, то уравнение прямой (2.6) имеет вид x=x1; если y1=y2, то: y=y1.

6. Обычное уравнение Различные виды уравнения прямой. прямой.

x +y -p=0, (2.8)

где p- длинна перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую,a - угол ,который этот перпендикуляр образует с положительным направлением оси Ох (рис.24)

Общее уравнение прямой (2.2) можно конвертировать в обычное уравнение (2.8) оковём умножения на нормирующий множитель l= ; символ перед дробью берётся обратный знаку свободного члена С( в общем уравнении прямой).

7. Уравнение Различные виды уравнения прямой. прямой в полярных координатах имеет вид

r =p, (2.9)

r,j,a,p – изображены на рисунке 25(полярная система координат).

4.2.1. Выстроить прямую, заданную уравнением 2x-y-4=0.

1). Для построения прямой довольно знать координаты 2-ух её случайных точек. Полагая в уравнении прямой, к примеру, x=0, получим y=-4. Имеем одну точку А(0;-4). Полагая x Различные виды уравнения прямой.=1, получим y=-2. Отсюда 2-ая точка В(1;-2).Осталось выстроить точки А и В и провести через их прямую (рис. 26).

2). Задачку можно решить по другому, используя уравнение прямой в отрезках. Приведём уравнение к виду (2.3). Для этого перенесём свободный член (-4) в правую часть уравнения и обе его части разделим на 4. Получаем 2x-y=4, - = 1, т Различные виды уравнения прямой..е. , - = 1 – уравнение прямой в отрезках на осях. На оси Оx отложим 2 единицы на право (от начала координат); на оси Оy отложим 4 единицы вниз. Получаем две точки на осях ,через которые проводим прямую (рис.27).

4.2.6.Уравнение прямой 4x-3y+12=0 представить в разных видах ( с угловым коэффициентом, в отрезках Различные виды уравнения прямой., в виде обычного уравнения).

Для получения уравнения прямой с угловым коэффициентом разрешим данное уравнение относительно y.Получим 3y=4x+12 b и дальше y= x+4 – уравнение прямой с угловым коэффициентом; тут k= , b=4.

Для получения уравнения прямой в отрезках перенесём свободный член C=12 на право и разделим обе части уравнения на Различные виды уравнения прямой. -12. В итоге получим , + = 1- уравнение в отрезках на осях; тут a=-3, b=4.

Приведём начальное уравнение к нормальному виду (2.8).

Для этого умножим обе части уравнения 4x-3y+12=0 на нормирующий множительl= , т.е. l= . Перед корнем взят символ «минус», т.к.свободный член (С=12) имеет символ «плюс». Получим - (4x-3y+12)=0, т.е. - x Различные виды уравнения прямой.+ y- =0; тут = , sina= ( + = + = 1), p= , т.е. расстояние от О(0;0) до прямой равно2,4.

4.2.8. Написать уравнение прямой, проходящей через точки:

А) А(0;2), В(-3;7);

Б) А(2;1), В(4;1);

Решение:

А) Используем уравнение (2.6). Полагая в нём x1=0, y1=2, x2=-3, y2=7, получим = ,либо

= , т.е. -3y+6=5x либо 5x+3y-6=0.

Б) Решаем аналогично: = . Потому Различные виды уравнения прямой. что y1=y2, заключаем, что y-1=0, y=1 есть уравнение прямой, проходящей через точки А и В. (Для наглядности построим точки и прямую в системе Oxy- см.рис.28.)

4.2.12 Из пучка прямых определяемых уравнением y+3=k(x-2) выделить ту, которая проходит через точку А(-2;5).

Подставим координаты точки А в уравнение прямой: 5+3=k(-2-2), получим k Различные виды уравнения прямой.=8:(-4)=-2. Как следует, разыскиваемое уравнение прямой есть y+3=-2(x-2), т.е. 2x+y-1=0.

4.2.14. Составить уравнение прямой в полярных координатах, если понятно, что она проходит через точку М(2;t wx:val="Cambria Math"/>3"> ) и наклонена к полярной оси под углом p.

Решение: воспользуемся уравнением(2.9). Разумеется(см.рис.29) a Различные виды уравнения прямой. = -(p - p)=t wx:val="Cambria Math"/>2"> - =t wx:val="Cambria Math"/>6"> . Тогда

p=2 - )=2 =2 = , т.е. p= . Как следует, уравнение разыскиваемой прямой есть r - t wx:val="Cambria Math"/>6"> )= .


razgovor-s-voskresshimi.html
razgovor-v-tramvae-vladimir-visockij.html
razgovori-o-politike-riskov.html