Различные способы вычисления определителей

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. Решение систем линейных уравнений.

Работа состоит из 3 заданий, включающих:

  1. Матрицы и деяния с ними.
  2. Определители и их главные характеристики.
  3. Способы решения систем линейных уравнений.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ:закрепить способности

– выполнения сложения и вычитания матриц, умножения матриц на число, транспонирование матриц;

– выполнения умножения матриц, возведения матриц в степень;

– вычисления определителей второго Различные способы вычисления определителей и третьего порядка и внедрения параметров определителей;

– вычисления оборотной матрицы;

– решения систем линейных алгебраических уравнений способом Гаусса, матричным методом и используя правило Крамера.

Решение типового варианта практической работы «Решение систем линейных уравнений»

Задачка 1.Вычислить определитель .

Решение.Для вычисления определителя третьего порядка будем использовать известную формулу Саррюса (правило треугольников Различные способы вычисления определителей), которое может быть записано последующей формулой:

Ответ: 0.

Задачка 2. Решить систему способом Гаусса, матричным методом и используя правило Крамера.

Решение:

Решим систему матричным методом, для этого вычислим оборотную матрицу , где - алгебраические дополнения к элементам матрицы.

- матрица невырожденная.



Решим систему способом КрамераГлавный определитель системы:

. Разложим определитель по элементам первой строчки, пользуясь Различные способы вычисления определителей формулой .

Запишем и вычислим вспомогательные определители

Тогда

Ответ:

Решим систему способом Гаусса, для этого составим расширенную матрицу системы и упростим ее приведением к треугольному виду.

~ ~ ~

Таким макаром, система равносильна системе

Находим

Ответ: , ,

При решении всеми способами одной и той же системы, мы получим один ответ.

Задачка 3. Выполнить деяния:

Решение.Выполним решение по Различные способы вычисления определителей действиям.

=

.

.

Ответ: .

Операция умножения 2-ух матриц вводится только для варианта, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк 2-ой матрицы.

Если , , то произведением матрицы именуется матрица , такая, что , где .

Пример:

Произведение не определено, потому что число столбцов матрицыА (3) не совпадает с числом строк матрицы В (2).

Произведение определено.

Главные сведения Различные способы вычисления определителей о матрицах

Определение. Прямоугольная таблица чисел вида

,

состоящая из строк и столбцов, именуется матрицей размерности .

Числа , при этом , составляющие матрицу, именуются ее элементами. 1-ый индекс показывает номер строчки данной матрицы, 2-ой индекс показывает номер столбца данной матрицы. Количество частей в матрице равно произведению .

Если , то матрица именуется квадратной матрицей -го Различные способы вычисления определителей порядка.

Элементы матрицы , у каких номер столбца равен номеру строчки , именуются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы .

либо .

Деяния над матрицами

Над матрицами, как и над числами, можно создавать ряд операций, при этом некие из их подобны операциям над числами.

1. Сложение матриц

Матрицы 1-го и Различные способы вычисления определителей такого же размера можно ложить.

Определение.Суммой матриц и размерности именуется матрица размерности , каждый элемент которой равен сумме соответственных частей матриц и .

Обозначают: .

К примеру: .

В личном случае , т. е. нулевая матрица играет ту же роль, что и число 0 при сложении чисел.

2. Умножение матрицы на число

Определение.Произведением числа Различные способы вычисления определителей на матрицу именуется матрица, элементы которой равны произведению числа на надлежащие элементы матрицы .

К примеру: .

3. Произведение матриц

Определение.Произведением матриц и , где матрица имеет размерность , а матрица имеет размерность , именуется новенькая матрица размерности , элементы которой находятся по формуле

.

Сумма в данном выражении представляет собой скалярное произведение вектора-строки матрицы на вектор Различные способы вычисления определителей-столбец матрицы . Потому молвят, что умножение матриц делается по правилу «строка на столбец». Произведение матриц определено только тогда, когда число столбцов матрицы равно числу строк матрицы .

Запись равносильна записи .

К примеру:

а) ;

б)

;

в)

;

г) ;

д) .

4.Строительство в степень

Определение. Целой положительной степенью квадратной матрицы именуется произведение матриц, равных , т. е Различные способы вычисления определителей.

.

По определению считают .

Из определения имеем .

К примеру:

.

5. Транспонирование матриц

Определение. Если в матрице поменять её строчки столбцами с теми же номерами, то получим матрицу

,

которая именуется транспонированной матрицей по отношению к матрице . Можно сказать, что транспонирование есть симметрия матрицы относительно главной диагонали.

К примеру:

.

Определители 2-го и 3-го порядков Различные способы вычисления определителей, их главные характеристики.
Определители п-го порядка.

Разные методы вычисления определителей

Дана матрица .

Определение. Число , равное разности произведения частей главной диагонали и произведения частей побочной диагонали данной матрицы, именуют определителем либо детерминантом (det) 2-го порядка, и обозначают:

.

Определитель также обозначают буковкой d либо эмблемой Δ. Числа а11, а12,а21, а22 именуют элементами определителя. В Различные способы вычисления определителей определителе 2-го порядка две строчки и два столбца. Число аij— элемент определителя, стоящий на скрещении i-той строчки и j-того столбца.

Числа составляют 1-ю строчку, составляют 2-ю строчку, составляют 1-й столбец, составляют 2-й столбец. Строчки и столбцы определителя именуют рядами определителя.

К примеру: Дана матрица

определитель .

Определение Различные способы вычисления определителей: Число , записываемое в виде:

где — произвольные числа, именуется определителем 3-го порядка.

В определителе 3-го порядка три строчки и три столбца. Число — элемент определителя, стоящий на скрещении i-той строчки и j-того столбца. Элементы образуют главную диагональ, а элементы — побочную диагональ.

К примеру: Вычислить определители по правилу треугольников Различные способы вычисления определителей.

1.

.

2.

– 1 · 1 (–2)

3.

– 0 · (–2) 0 – 1· 2 · (–2)


razdumya-o-roli-cheloveka-na-zemle-o-vechnih-duhovnih-cennostyah-v-povesti-astafeva-car-riba-sochinenie.html
razdvoenie-edinogo-skazka-pro-lisu-i-zajca.html
razedinitelnie-processi.html