РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Способ статистического моделирования имеет огромное количество приложений. В большинстве случаев он состоит в том, что для решения математической задачки строится некая случайная величина ζ, такая, что математическое ожидание этой случайной величины E(ζ) является значением искомого решения. Проводя достаточное количество раз опыт со случайной величиной ζ, можно отыскать приближенное решение как среднее значение РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ результатов опыта.

1. Вычисление площадей. Отыскать площадь фигуры G, вписанной в прямоугольник с размерами сторон а и b. При помощи датчика равновероятно распределенных случайных чисел неоднократно генерируются координаты точки, принадлежащей прямоугольнику. Разумеется, что при большенном числе испытаний площадь фигуры G приближенно равна отношению числа точек, попавших в область G, к числу РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ всех разыгранных точек. В качестве примера приведем программку вычисления числа π, находя обозначенным способом площадь круга, вписанного в квадрат, по 100000 испытаний. Оценку точности приобретенного результата оставляем читателям.

Программка 154. Вычисление числа π способом Монте-Карло

Program Chislo_Pi;

Uses Crt; Var I, N : Longint; X, Y : Real;

Begin

Randomize; N := 0;

For I РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ := 1 To 100000 Do

Begin

X := Random; Y := Random;

If Sqr(X - 0.5) + Sqr(Y - 0.5) < 0.25 Then N := N + 1

End;

WriteLn ('pi=', (N / 100000 / Sqr(0.5)) : 8 : 5) ;

Repeat Until KeyPressed End.

2. Задачка Бюффона. На поле, разграфленное параллельными прямыми, расстояние меж которыми L, кидается наобум игла длиной l (рис. 7.60). Какова возможность того, что игла, упав, пересечег хотя бы одну прямую?

Рис. 7.60. К РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ. задачке Бюффона

Ж.Бюффон (XVIII в.) подсчитал: р = . Таким макаром, если L = 2l, то р = . Не считая того, р = , где N - число бросаний, N1 - число пересечений иглы с линиями.

Относительная толика случаев, когда игла пересечет хотя бы однуиз параллельныхпрямых равно р = . Это был одиниз древних методов опредения РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ числа π.

Имитационное моделирование проведем последующим образом. Примем L = 1 и l = . «Иглу» будем «бросать» в квадрат размером, скажем, 20х20, левый нижний угол которого имеет координаты (0, 0). Положение концов иглы будем задавать при помощи датчика умеренно распределенные, случайных чисел в спектре от 0 до 20. Поточнее говоря, эти числа обусловят направление отрезка, повдоль которого находится РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ еще одна игла; для того, чтоб ее длина была равна , вторую из случайных точек - концов отрезка - подвинем повдоль него до заслуги обозначенной длины иглы. В математическом отношении это сводится к последующей легкой процедуре;

• генерация координат точек А(х1, y1), B(x2, у2);

• определение координат точки В1(х1 + α(х2 – х1), у1 + α(у РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ2 – у1)), где

Так как расстояние меж горизонтальными линиями взято равным единице, а сами полосы имеют целочисленные координаты по у, то найти, пересекает ли игла прямую, до боли просто - да, если целые части ординат тoчeк A и В1 различны.

Программка 155 Решение задачки Бюффона.

Program Buffon;

Uses Crt; Var РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ I, J, K, M, N : Integer; XI, X2, Y1, Y2, Al : Real;

Begin

Randomize; M := 30000; N := 1;

For I := 1 To M Do

Begin

X1 := Random * 20; Yl := Random * 20; X2 := Random * 20;

Y2 := Random * 20;

A1 := 0.5 / Sqrt(Sqr(X2 – X1) + Sqr(Y2 - Yl) ) ;

J := Round(Yl); К := Round(Yl + A1 * (Y2 – Y1));

If J К Then N := H + 1

End;

WriteLn РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ('pi=', W / N) : 8 : 5); Repeat Until KeyPressed

End.

Создание демонстрационной программки, которая выводит на экран несколько параллельных прямых из общего набора и имеющие к ним отношение «иглы», предоставляем читателю.

Советуем провести с предложенной программкой несколько тестов. Понятно, что чем больше значение т, тем, по-видимому, поточнее итог. Но. почему он РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ повсевременно немного занижен? Все ли учтено на краях той зоны, в какой разыгрываются броски иглы? Чтоб ощутить делему, следует прирастить число параллельных прямых, что в данной программке совсем не сложно сделать. Почему итог становится лучше? Отметим, что неувязка краевых критерий, когда действия должны по условиям задачки разыгрываться на нескончаемом поле РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ, а при имитационном моделировании практически разыгрываются на конечном (и даже не очень большенном), появляется нередко и решение ее нетривиально.

3. Нефтяное месторождение. Дано нефтяное месторождение, в каком область залегания нефти G ограничивается кривой С. Дебит скважины, т.е. количество получаемой из нее нефти в единицу времени, находится РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ в зависимости от пластового давления нефти U в точке скважины. Поэтом) для прогнозирования нефтедобычи принципиально знать рассредотачивание пластового давления на всем месторождении при условии, что оно экспериментально измерено только на его границе. В математическом плане функция U(r) удовлетворяет уравнению Лапласа = 0; задачка нахождения его решения снутри области при данном значении U РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ(r) на границе - так именуемая, краевая задачка Дирихле; в данной задачке это решение, которое нередко совершенно не просто отыскать аналитически, позволило бы верно найти точку для скважины.

Рис. 7.61. Наложение сетки на заданную область

Покроем область G маленькой сетью. Отметим узлы, более близкие к границе С, и будем считать, что значения функции РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ U в этих узлах примерно равны значениям этой функции в ближайших к ним точках границы. Будем находить значение функции U(A) в неком внутреннем узле A (рис. 7.61).

Поместим в точке А блуждающую частичку, которая может передвигаться по области в поочередные моменты времени, переходя из 1-го угла в РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ примыкающий. Направления перемещений случайны, равновероятны и не зависят от ее положения и предыстории блуждания. Случайный опыт состоит в наблюдении факта выхода блуждающей частички в некий граничный узел. Когда блуждание прекращается, запоминается значение функции f(сi) в этой точке, и т.д., N раз. Превосходный факт заключается в том, что решение РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ в точке

Другими словами, среднее значение приближенно равно решению задачки Дирихле в точке А.

4. Модель «пьяницы» (модель случайного блуждания). Зададим блуждание точки (объекта) по горизонтальной полосы по правилу: если случайное число из интервала [0, 1] меньше 0,5, то точка делает шаг на право x = х + h, в неприятном случае x = х РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ - h.

Программка 156. Модель случайного блуждания

Program Tochka;

Uses Crt, Graph; Var I, J : Integer; Z, P, X, H, Y : Integer;

Begin

X := 320; Y := 240; H := 10; P := 4; DetectGraph(I, J) ;

InitGraphd, J, ");

SetColor(15); Line(10, 312, 630, 312); Randomize;

Repeat

Z := Random(8); If Z >= P Then X := X + H Else X := X - H;

SetColor(Green); Circle(X, Y, 10); Delay(200);

SetColor(0); Circle РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ(X, Y, 10)

Until KeyPressed Or (X >= 640) Or (X <= 0); CloseGraph

End.

В программке шаг является неизменным, но никто не мешает нам сделать его переменным, выбирая из интервала [0, hmax] случайным образом. Для этого зададим очень вероятный шаг НМах и в цикле определимH := Random(HMax).

Если задать аналогичным образом вероятности движения точки РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ввысь – вниз, на право - на лево (0 < рх < 1, 0 < рy < 1), получим хаотическое блуждание точки на плоскости. Для моделирования блуждания точки в замкнутом прямоугольном объеме примем полностью упругое (зеркальное) отражение от стен.

Программка 157. Хаотическое блуждание точки

Program Broun;

Uses Crt, Graph;

Var I, J, X, Y, HxMax, HyMax, Hx, Ну : Integer; PI, P2, Z РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ1, Z2 : Real;

Begin

X := 320; Y :== 240; HxMax := 30; PI := 0.5; P2 := 0.5; HyMax := 30;

DetectGraph (I, J) ; InitGraph (1, J, ''); SetColor(15);

Randomize; RectAngle(100, 100, 540, 380);

SetColor(Green); Circle(X, Y, 10); Delay(200); SetColor(0);

Circle(X, У, 10);

Repeat

Zl := Random; Z2 := Random; Hx := Random(HxMax);

Ну := Random(HyMax) ;

If (Zl < PI) Then X := X + Hx Else X := X - Hx;

If (Z2 < P РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ2) Then Y := Y + Ну Else Y :" У - Ну;

If X <= 110 Then X := X + 2 * (110 - X) ;

If X >= 530 Then X := X - 2 * (-530 + X) ;

If Y <= 110 Then Y := Y + 2 * (110 - Y) ;

If Y >= 370 Then Y := Y - 2 * (Y - 370);

SetColor(Green); Circle(X, Y, 10); Delay(100);

SetColor(0); Circle(X, Y, 10)

Until Keypressed; CloseGraph

End.

Схожим (хотя РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ и поболее сложным) образом происходит броуновское движение, отлично известное из курса физики. Если след точки не стирать, то можно будет следить на дисплее линию движения такового движения. Нет огромного труда перейти к случаю п частиц. Для этого нужно завести два массива координат точек и аналогично предшествующему примеру организовать их движение.

Программка РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 158. Броуновское движение

Program Gaz;

Uses Crt, Graph;

Var I, J, HxMax, HyMax, Hx, Ну, N, I : Integer;

X, Y : Array[0..500] Of Integer; PI, P2, Z1, Z2 : Real;

Begin N := 100;

For I := 1 To N Do Begin X[I] := 320; Y[I] := 240 End;

HxMax := 10; PI := 0.5; P2 := 0.5; HyMax := 10;

DetectGraph (1, J) ; InitGraphd, J РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ, ' '); SetColor(15);

Randomize; RectAngle(100, 100, 540, 380);

For I := 1 To N Do PutPixel(X[I], Y[I], White); Delay(200);

For I := 1 To N Do PutPixel(X(I], Y[I], 0) ;

Repeat

For I := 1 To N Do

Begin

Zl := Random; Z2 := Random;

Hx := Random(HxMax); Ну := Random(HyMax);

If Zl < PI Then X[I] := X[I] + Hx Else X[I РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ] := X[I]— Hx;

If Z2 < P2 Then Y[I] := Y[I] + Ну Else Y[I] := Y[I] - Ну;

If X[I] <= 110 Then X[I] := X[I] + 2 * (110 - X[I]);

If X(I] >= 530 Then X[I] := X[I] - 2 * (-530 + Х[I];

If Y[I] <= 110 Then Y(I] := Y[I] + 2 * (110 - Y[I]);

If РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Y[I] >= 370 Then Y[I] := Y[I] - 2 * (Y[I] - 370);

PutPixel (X[I], Y[I], 15)

End; Delay(100);

For I := 1 To N Do PutPixel(X[I], Y[I], 0)

Until KeyPressed; CloseGraph

End.

Построенная компьютерная модель в первом приближении может позволить моделировать многие явления и процессы, происходящие в газах: рассеивание облака, диффузия РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ газов. С ее помощью можно получить многие зависимости характеристик газа друг от друга. А именно, давление (число соударений частиц на стены) от длины свободного пробега (величинHxMaxиHyMax) либо от числа частиц.

Представляет значимый энтузиазм имитационное моделирование явлений в сплошных средах, удовлетворяющих законам безупречного газа, таких, как истечение газа в вакуум РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ, ударная волна, волны разрежения и т.п. Для модернизации модели можно ввести в метод упругое столкновение частиц вместе, появление кластерных ансамблей и почти все другое.

При вероятностном моделировании используютразличные способы, которыепозволяют решать задачки из разных областей. Ниже перечислены сферы внедрения вероятностных способов.

Способ статистического моделирования: решение краевых задач РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ математической физики, решение систем линейных алгебраических уравнений, воззвание матриц и сводящиеся к ним сеточные способы решения систем дифференциальных уравнений, вычисление кратных интегралов, решение интегральных и интегродифференциальных уравнений, задач ядерной физики, газовой динамики, фильтрации, теплотехники.

Способ имитационного моделирования: моделирование систем массового обслуживания, задачки АСУ, АСУП и АСУТП, задачки защиты инфы, моделирование сложных РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ игровых ситуаций и динамических систем.

Способ стохастической аппроксимации: рекуррентные методы решения задач статистического оценивания.

Способ случайного поиска: решение задач оптимизации систем, зависящих от огромного числа характеристик, нахождение экстремумов функции огромного числа переменных.

Другие способы: вероятностные способы определения образов, модели адаптации, обучения и самообучения.

Контрольные вопросы и задания

Для РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ответов на эти вопросы может пригодиться выход за границы коротких сведений, изложенных в данном параграфе.

1. Какие случайные действия именуют достоверными? неосуществимыми? несопоставимыми? обратными?

2. Дайте традиционное определение вероятности случайного действия.

3. В чем заключаются аксиомы сложения и умножения вероятностей?

4. Сформулируйте локальную и интегральную аксиомы Лапласа для вероятности возникновения данного числа случайных РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ событий.

5. Сформулируйте аксиому Бернулли для оценки частоты возникновения случайных событий при независящих повторных испытаниях.

6. Что такое случайная величина дискретная? непрерывная?

7. Дайте определение функции рассредотачивания непрерывной случайной величины и плотности рассредотачивания.

8. Что такое математическое ожидание и дисперсия случайной величины (при дискретном и при непрерывном рассредотачиваниях)?

9. Какое рассредотачивание именуется обычным? В чем РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ особенная значимость обычного рассредотачивания в теории вероятностей?

10. Что такое независящая повторная подборка? Как находятся выборочные средние? выборочные дисперсии? В каких связях они с математическим ожиданием и дисперсией случайной величины?

11. Как выстроить гистограмму выборочного распределенияслучайной величины? Как по ней судить о функции рассредотачивания?

12. Какими качествами должна владеть точечная РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ оценка характеристик функции рассредотачивания?

13. Как оценить отклонение выборочного среднего от математического ожидания при малом числе испытаний? при большенном числе испытаний? Что такое доверительный интервал?

14. Сформулируйте один из критериев согласия эмпирической и теоретической функций рассредотачивания.

15. Что такое «случайноечисло»? Сформулируйте способ компьютерной генерации последовательности умеренно распределенных псевдослучайных чисел.

16. Сформулируйте один из способов генерации РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ последовательности псевдослучайных чисел с данным законом рассредотачивания.

17. Как формулируются задачки теории массового обслуживания?

18. Какие случайные процессы являются начальными (входными) для обсуждаемой в тексте задачки? Каковы их свойства?

19. Какие случайные процессы являются объектомисследования (выходнымипроцессами) для обсуждаемой в тексте задачки?

20. Как промоделировать пуассоновский процесс - входной поток клиентов в очередь?

21. Что РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ такое «марковские» случайные процессы и являются ли исследуемые в данном параграфе процессы «марковскими»?

22. С чем связано в первой из приведенных выше программ ограничение на объем подборки? Можно ли его преодолеть и какими методами?

23. Может ли данная программка сделаться несостоятельной при очень большенном объеме подборки? Как преодолеть делему, связанную с РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ периодичностью датчика псевдослучайных чисел?

24. Изучите рассредотачивания продолжительности ожидания в очереди и продолжительности простоя «продавца» и соответственно средние времена ожидания в системе с одним «прилавком» при разных композициях рассредотачиваний промежутков времен меж приходами «покупателей» и времен обслуживания, используя последующие рассредотачивания: а) равновероятное; б) пуассоновское; в) обычное.

25. Выполняя задание 24, возьмите РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ одну из рекомендованных композиций характеристик и так варьируйте параметр, задающий одно из рассредотачиваний, чтоб узнать его критичное значение, переход через которое приводит к неограниченному росту очереди.

26. На междугородной телефонной станции несколько телефонисток обслуживают общую очередь заказов. Очередной заказ обслуживает та телефонистка, которая первой освободилась. Смоделируйте эту ситуацию, обмозгуйте возникающие трудности.

27. Пусть на РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ телефоннойстанции употребляется рядовая система отказа: если абонент занят (и не подключена система «ждите ответа»), очередь не формируется, и нужно набрать номер вновь. Допустим, что несколько абонентов пробуют связаться с одним и этим же адресатом и в случае фуррора говорят с ним некое (случайное, но менее 3 минут РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ) времяю Смоделируйте ситуацию. Какова возможность того, что некто, пытающийся дозвониться, не сумеет сделать этозаопределенное время Т?

28. Одна ткачиха обслуживает несколько ткацких станков, осуществляя по мере проблем короткосрочное вмешательство, продолжительность которого - случайная величина. Какова возможность простоя сходу нескольких станков? Как велико среднее время простоя 1-го станка? Если задействованы две работницы, что РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ прибыльнее: поручить каждой по отдельной группе станков либо обеим сдвоенную группу?

29. Разработайте модель смешивания (диффузии) газов в замкнутом сосуде и произведите моделирование с целью исследования закономерностей процесса (зависимости ширины зоны диффузии от числа частиц в газах, их скорости, длины свободного пробега).

30. Разработайте модель поведения газа в плоском канале с поршнем РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ. Разглядите случаи вдвижения и выдвижения поршня в замкнутом канале. Изучите поведение ударной волны зависимо от характеристик газа (числа частиц, их скорости, длины свободного пробега)

31 Разработайте модель истечения газа из трубы.

32. Сделайте модель «пчелиного роя».

33. Придумайте модель случайного блуждания точки в данном лабиринте.

34. Предложите модель формирования очереди на РАЗЛИЧНЫЕ ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ стоянке такси.

35. Высчитайте модель автобусного маршрута с h остановками.

36. Смоделируйте работу продовольственного магазина.

37. Опишите модель автозаправочной станции.


razmer-viruchki-svishe-400-mln-v-god-vi-predstavlyaete-gruppu-kompanij.html
razmer-vznosov-i-poryadok-ih-vneseniya.html
razmeri-3-mesyaca-i-6-mesyacev.html